『テンソル解析と連続体力学 理工学海外名著シリーズ30』
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table:bibliography
ISBN-13 9784621302347
本書の特色本書はテンソル解析の入門書であるが、構造物の応用解析や、弾塑性体その他の性体の微小変形ないし大変形解析、あるいはこれら及び流体など一般的な連続体力学への直接の応用を狙ったものである点が、一つの大きな特色となっている。
すなわち、従来こうした工学分野においてテンソルを用いる必要があるときは、多くの場合、はじめの１章をその説明に充てるという方法が採られてきたが、その解説が不完全で中途半端になることは止むをえないところであった。
ここまでなんか文章が読みづらい
途中で切れtakker.icon
本書は、そうした不満を払拭する意図をもって、テンソル解析の初歩からかなり高いレベルまでの詳細な記述を、具体的応用例を織りませながら示して、１冊の成書としたものである。
この種の書物は、他の類例がなく、この点だけからも、本書の意義が大きく評価されている。
本書の内容は、数学的記述の章と、それの応用としての工学的記述の章が交互に配列されており、身近な事例を用いることによって数学的抽象性の壁を破り、読者が内容を理解することを助けるのみならず、さらに積極的に、理解した内容を応用する力を養うことができるように工夫されている。
この構成は、正に画期的ともいえるものである。
数学的記述と具体的現象との両方を出すなんて、今じゃ当たり前だよなあ。
具体的に内容を略記すれば、ベクトルとテンソルに関する基礎事項からはじまり、テンソルの導関数と積分、連続体力学の基礎式や弾性問題のテンソル表現、曲面の幾何学、殻の理論、主軸と不変量などが、任意の曲線座標系に関するテンソル成分を用いて記述されており、さらに各種のテンソル公式のまとめが最終の２章で与えられている。
冒頭の説明を、手で式を書きながら読み返せば、共変・反変成分に着いて分かるかもしれない。
内容は豊富。
目次
章1 ベクトルとテンソル
1. 3 スカラ積、ベクトルの成分
共変成分と反変成分を組み合わせると、正規直交基底の場合と同様に$ a_ib_iという簡単な積和で演算を記述できるよ、という話 幾何学的な考察が主
1. 2 基底ベクトル、計量テンソル
曲線座標など、基底vectorの向きが位置に依存する場合の取り扱い $ \pmb{g}を基底ベクトルの記号として用いている
共変微分の話は後述
1. 3 座標変換
1. 4 テンソル
練習問題
参考文献
章2 ひずみテンソル
対応表
$ \mathrm{d}\pmb{s}=\mathrm{d}\pmb{X}
$ \mathrm{d}\hat{\pmb{s}}=\mathrm{d}\pmb{x}
$ {\mathrm{d}x}^i=[\mathrm{d}\pmb{X}]^\mathsf{\bar{E}}_i
$ \gamma_{ij}=[2{\Large\pmb{\varepsilon}}]^\mathsf{EE}_{ij}
$ \because下記参照
物質点A($ \pmb{X})とB($ \pmb{X}+\mathrm{d}\pmb{X})の距離$ |\mathrm{d}\pmb{X}|^2が変位$ \pmb{u}を受けたときどのくらい変化するのか $ \pmb{u}は$ \pmb{\phi}-\pmb{X}と同じ
つまり変位後の位置$ \pmb{X}+\pmb{u}(\pmb{X},t)は現位置$ \pmb{x}に等しい $ \pmb{u}(\pmb{X},t)-\pmb{X}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)=\pmb{x}
以降、$ tは全て定数として扱う
変位後のAB間のvectorは$ \mathrm{d}\pmb{x}になる
$ \because \pmb{\phi}(\pmb{X}+\mathrm{d}\pmb{X},t)-\pmb{\phi}(\pmb{X},t)=(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top\mathrm{d}\pmb{X}=\mathrm{d}\pmb{\phi}=\mathrm{d}\pmb{x}
$ (\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\topって変形勾配tensorじゃん！ $ \pmb{u}を使って記述し直すと
$ \mathrm{d}\pmb{x}=\mathrm{d}\pmb{X}+\mathrm{d}\pmb{u}=(\pmb{I}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top)\mathrm{d}\pmb{X}
$ (\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top=\pmb{I}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\topとなる
変位後の距離は
$ |\mathrm{d}\pmb{x}|^2=((\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top\mathrm{d}\pmb{X})\cdot(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top\mathrm{d}\pmb{X}
$ =\mathrm{d}\pmb{X}\cdot(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top\mathrm{d}\pmb{X}
$ =(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top:\mathrm{d}\pmb{X}\otimes\mathrm{d}\pmb{X}
$ \pmb{u}で記述し直すと
$ =(\pmb{I}+\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})(\pmb{I}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top):\mathrm{d}\pmb{X}\otimes\mathrm{d}\pmb{X}
距離の変位は
$ |\mathrm{d}\pmb{x}|^2-|\mathrm{d}\pmb{X}|^2=((\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top-\pmb{I}):\mathrm{d}\pmb{X}\otimes\mathrm{d}\pmb{X}
$ =(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top):\mathrm{d}\pmb{X}\otimes\mathrm{d}\pmb{X}
$ \frac12((\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top-\pmb{I})はLagrangeひずみtensor$ {\Large\pmb{\varepsilon}}である 本書で定義されている$ \gamma_{ij}の対応先を見つける
$ u_{i,j}まで対応リストを作ったので、これで調べられるはず
$ \gamma_{ij}=u_{i,j}+u_{j,i}+u^k_{\ ,i}u_{k,j}
$ =[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{ij}+[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{ji}+[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{\bar{E}E}_{ki}[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{kj}
$ =[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{ij}+[\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}]^\mathsf{EE}_{ij}+[\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ik}[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{kj}
$ =[\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}]^\mathsf{EE}_{ij}+[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{ij}+[\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ik}[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{kj}
$ =[\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{ij}+[(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{EE}_{ij}
$ =[\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}
$ =[2{\Large\pmb{\varepsilon}}]^\mathsf{EE}_{ij}
対応付けできたので、対応リストに載せておく
$ {\Large\pmb{\varepsilon}}の線型近似
$ {\Large\pmb{\varepsilon}}\simeq\frac12\left(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\right)
対称tensorであることがわかる
練習問題
参考文献
章3 ベクトル積
3. 1 交代テンソル
$ {\Large \pmb{\epsilon}}:=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j\otimes\pmb{e}_k
$ [{\Large \pmb{\epsilon}}]^\mathsf{EEE}_{ijk}=\epsilon_{ijk}
3. 2 ベクトル積
練習問題
章4 応力
4. 1 応力テンソル
Hookeの法則$ \pmb{\sigma}={\cal\pmb{C}}:{\Large\pmb{\varepsilon}}を調べる $ \pmb{\sigma}^\top=\pmb{\sigma}より、$ \forall\pmb{A};\pmb{A}:{\cal\pmb{C}}=\pmb{A}^\top:{\cal\pmb{C}}
$ {\Large\pmb{\varepsilon}}^\top={\Large\pmb{\varepsilon}}より、$ \forall\pmb{A};{\cal\pmb{C}}:\pmb{A}={\cal\pmb{C}}:\pmb{A}^\topとなるように成分をとっても、一般性を失わない
以上より、$ {\cal\pmb{C}}の独立な成分は81個から36個に減った
さらにひずみエネルギ密度$ \pmb{a}:=\frac12\pmb{\sigma}:{\Large\pmb{\varepsilon}}を使って$ \pmb{A}:{\cal\pmb{C}}:\pmb{B}=\pmb{B}:{\cal\pmb{C}}:\pmb{A}を示せるらしいが、よくわからなかったtakker.icon 練習問題
参考文献
章5 導関数と積分
5. 1 クリストッフェル記号
対称性
基底vectorは、各パラメタで空間上の任意の点を表す函数$ \pmb{r}を使って$ \pmb{e}_i=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial\bar{e}_i}と表現される
これを用いると、$ \pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ij}=\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial \bar{e}_j}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial\bar{e}_j\partial\bar{e}_i}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial\bar{e}_i\partial\bar{e}_j}=\frac{\partial\pmb{e}_j}{\partial \bar{e}_i}=\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ji}だとわかる
双対の変換
$ 0=\frac{\partial}{\partial \bar{e}_k}\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j=\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb{e}}_j+\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{jk}\cdot\pmb{e}_iより、
$ \pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}\cdot\pmb{e}_k=-\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{kj}\cdot\bar{\pmb{e}}_i=-\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb{e}}_i
$ \therefore\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}=-\sum_k\left(\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb{e}}_i\right)\bar{\pmb{e}}_k
$ [\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}]^\mathsf{E}_k=-[\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{jk}]^\mathsf{\bar{E}}_i もしくは$ [\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}]^\mathsf{E}_k=-[\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{kj}]^\mathsf{\bar{E}}_i とも書ける
前者は添え字のcyclicな交換則、後者$ iと$ kの交換則とみなせる
5. 2 共変導関数
$ \mathrm{d}\pmb{v}=\mathrm{d}(\sum_i[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i\pmb{e}_i)
$ =\sum_i(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i)\pmb{e}_i+[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i\mathrm{d}(\pmb{e}_i)
$ =\sum_{i,j}\frac{\partial[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i}{\partial\bar{e}_j}\pmb{e}_i\mathrm{d}\bar{e}_j+\sum_{i,j}[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ij}\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_{i,j}\frac{\partial[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i}{\partial\bar{e}_j}\pmb{e}_i\mathrm{d}\bar{e}_j+\sum_{i,j,k}[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i[\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ij}]^\mathsf{\bar{E}}_k\pmb{e}_k\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_{i,j,k}\left(\frac{\partial[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i}{\partial\bar{e}_j}+[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_k[\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{kj}]^\mathsf{\bar{E}}_i\right)\pmb{e}_i\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_{i,j}\left[\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\right]^\mathsf{\bar{E}}_i\pmb{e}_i\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_i\left[\mathrm{d}\pmb{v}\right]^\mathsf{\bar{E}}_i\pmb{e}_i
($ =\sum_{i,k}\left(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i+[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_k[\mathrm{d}\pmb{e}_k]^\mathsf{\bar{E}}_i\right)\pmb{e}_i )
各基底vectorの係数$ \left[\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\right]^\mathsf{\bar{E}}_i を、$ \pmb{v}の共変微分係数と呼ぶ
反変基底でばらす
$ \mathrm{d}\pmb{v}=\sum_i(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i)\bar{\pmb{e}}_i+[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i\mathrm{d}\bar{\pmb{e}}_i
$ =\sum_{i,j}(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i)\bar{\pmb{e}}_i+[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_{i,j,k}(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i)\bar{\pmb{e}}_i-[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i[\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{jk}]^\mathsf{\bar{E}}_i\bar{\pmb{e}}_k\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_{i,j,k}\left(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i-[\pmb{v}]^\mathsf{E}_k[\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ji}]^\mathsf{\bar{E}}_k\mathrm{d}\bar{e}_j\right)\bar{\pmb{e}}_i
$ =\sum_{i,j,k}\left(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i-[\pmb{v}]^\mathsf{E}_k[\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ij}]^\mathsf{\bar{E}}_k\mathrm{d}\bar{e}_j\right)\bar{\pmb{e}}_i
$ =\sum_{i,j,k}\left(\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i-[\pmb{v}]^\mathsf{E}_k[\mathrm{d}\pmb{e}_i]^\mathsf{\bar{E}}_k\right)\bar{\pmb{e}}_i
ここまでまとめ
$ [\mathrm{d}\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i=\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_i+\sum_k[\pmb{v}]^\mathsf{\bar{E}}_k[\mathrm{d}\pmb{e}_k]^\mathsf{\bar{E}}_i=\sum_j\left[\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\right]^\mathsf{\bar{E}}_i\mathrm{d}\bar{e}_j
$ [\mathrm{d}\pmb{v}]^\mathsf{E}_i=\mathrm{d}[\pmb{v}]^\mathsf{E}_i-\sum_k[\pmb{v}]^\mathsf{E}_k[\mathrm{d}\pmb{e}_i]^\mathsf{\bar{E}}_k=\sum_j\left[\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\right]^\mathsf{E}_i\mathrm{d}\bar{e}_j
太字表記
$ \mathrm{d}\pmb{v}=\sum_j\left[\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\right]^\mathsf{\bar{E}}_i\pmb{e}_i\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_j\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\mathrm{d}\bar{e}_j
$ =\sum_{j,k}\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{e}_k\mathrm{d}\bar{e}_k
$ =\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\mathrm{d}\pmb{r}
ここで、$ \pmb{\nabla}=\sum_i\bar{\pmb{e}}_i\frac{\partial}{\partial\bar{e}_i}とした
共変微分係数が跡形もなく消え去ってしまった……
共変微分とか、考える必要あったのかな？takker.icon
$ \left.v_i\right|_{jk}-\left.v_i\right|_{kj}=\left[\frac{\partial\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}}{\partial\bar{e}_k}\right]^{\sf EE}_{ij}-\left[\frac{\partial\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}}{\partial\bar{e}_j}\right]^{\sf EE}_{ik}
$ =(\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}):\pmb e_i\pmb e_j\pmb e_k-(\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}):\pmb e_i\pmb e_k\pmb e_j
これが3階共変tensorになるらしい
5. 3 発散と回転
$ \pmb{\nabla}\times\pmb{v}=v_j|_i\epsilon^{ijk}\pmb{e}_k={\Large\pmb{\epsilon}}:(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{v})
5. 4 ストークスとガウスの積分定理
練習問題
参考文献
6. 1 運動学的関係式
6. 3 弾性論の基礎方程式
練習問題
参考文献
章7 特殊な弾性問題
練習問題
参考文献
章8 曲面の幾何学
8. 1 一般的考察
8. 3 共変導関数
練習問題
章9 殻の理論
9. 1 殻の幾何学
9. 2 変形の運動学
9. 4 弾性法則
練習問題
参考文献
章10 弾性安定性
参考文献
11. 1 非対称テンソル
11. 2 応力とひずみのテンソル
11. 3 曲率
11. 4 ベクトル
練習問題
章12 テンソル公式のまとめ
12. 1 数学の公式
12. 2 力学の公式
章13 特殊な座標系に関する公式
13. 3 平面だ円―双曲線座標
13. 4 斜交直線座標
参考文献
付録：練習問題の解答
索引